a) Bình phương hai vế ta được

\(2{x^2} - 3x - 1 = 2x - 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x +2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình \(2x - 3 \ge 0\) thì chỉ \(x=2\) thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{2 \right\}\)

b) Bình phương hai vế ta được

\(\begin{array}{l}4{x^2} - 6x - 6 = {x^2} - 6\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình \({x^2} - 6 \ge 0\) thì thấy chỉ có nghiệm \(x = 2\)thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 2 \right\}\)

c) \(\sqrt {x + 9}  = 2x - 3\)(*)

Ta có: \(2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}\)

Bình phương hai vế của (*) ta được:

\(\begin{array}{l}x + 9 = {\left( {2x - 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 9 = x + 9\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 13x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {KTM} \right)\\x = \frac{{13}}{4}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{{13}}{4}} \right\}\)

d) \(\sqrt { - {x^2} + 4x - 2}  = 2 - x\)(**)

Ta có: \(2 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2\)

Bình phương hai vế của (**) ta được:

\(\begin{array}{l} - {x^2} + 4x - 2 = {\left( {2 - x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  - {x^2} + 4x - 2 = {x^2} - 4x + 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 8x + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {TM} \right)\\x = 3\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\}\)

Lời giải:

a. ĐKXĐ: $x\geq 4$

PT $\Leftrightarrow \sqrt{(x-4)+4\sqrt{x-4}+4}=2$

$\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-4}+2)^2}=2$

$\Leftrightarrow |\sqrt{x-4}+2|=2$

$\Leftrightarrow  \sqrt{x-4}+2=2$

$\Leftrightarrow \sqrt{x-4}=0$

$\Leftrightarrow x=4$ (tm)

b. ĐKXĐ: $x\in\mathbb{R}$

PT $\Leftrightarrow \sqrt{(2x-1)^2}=\sqrt{(x-3)^2}$

$\Leftrightarrow |2x-1|=|x-3|$

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} 2x-1=x-3\\ 2x-1=3-x\end{matrix}\right.\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=-2\\ x=\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

c.

PT \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-1\geq 0\\ 2x^2-2x+1=(2x-1)^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{1}{2}\\ 2x^2-2x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{1}{2}\\ 2x(x-1)=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=1\)

a, ĐK: \(x\ge11\)

\(\sqrt{x+\sqrt{x-11}}+\sqrt{x-\sqrt{x-11}}=4\)

\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x-11}+x-\sqrt{x-11}+2\sqrt{x^2-x+11}=16\)

\(\Leftrightarrow2x+2\sqrt{x^2-x+11}=16\)

\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2-x+11}=8\)

Ta thấy \(x+\sqrt{x^2-x+11}>11>\text{​​}8\)

\(\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm.

\(a,\sqrt{x+\sqrt{x-11}}+\sqrt{x-\sqrt{x-11}}=4\left(x\ge11\right)\\ \Leftrightarrow x+\sqrt{x-11}+x-\sqrt{x-11}+2\sqrt{\left(x+\sqrt{x-11}\right)\left(x-\sqrt{x-11}\right)}=16\\ \Leftrightarrow2x+2\sqrt{x^2-x+11}=16\\ \Leftrightarrow x+\sqrt{x^2-x+11}=8\\ \Leftrightarrow\sqrt{x^2-x+11}=8-x\\ \Leftrightarrow x^2-x+11=x^2-16x+64\\ \Leftrightarrow15x=53\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{53}{15}\left(ktm\right)\)

\(b,\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2}\left(x\ge\dfrac{5}{2}\right)\\ \Leftrightarrow\sqrt{2x-5+6\sqrt{2x-5}+9}+\sqrt{2x-5-2\sqrt{2x-5}+1}=4\\ \Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}+3\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}-1\right)^2}=4\\ \Leftrightarrow\sqrt{2x-5}+3+\left|\sqrt{2x-5}-1\right|=4\\ \Leftrightarrow\left|\sqrt{2x-5}-1\right|=1-\sqrt{2x-5}\\ \Leftrightarrow\sqrt{2x-5}-1\le0\\ \Leftrightarrow\sqrt{2x-5}\le1\\ \Leftrightarrow2x-5\le1\Leftrightarrow x\le\dfrac{5}{2}\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}\)

b, ĐK: \(x\ge\dfrac{5}{2}\)

\(\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+4+6\sqrt{2x-5}}+\sqrt{2x-4-\sqrt{2x-5}}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}+3\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}-1\right)^2}=4\)

\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{2x-5}+3\right|+\left|\sqrt{2x-5}-1\right|=4\)

Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\):

\(\left|\sqrt{2x-5}+3\right|+\left|\sqrt{2x-5}-1\right|\)

\(=\left|\sqrt{2x-5}+3\right|+\left|1-\sqrt{2x-5}\right|\)

\(\ge\left|\sqrt{2x-5}+3+1-\sqrt{2x-5}\right|\)

\(=4\)

Đẳng thức xảy ra khi: 

\(\left(\sqrt{2x-5}+3\right)\left(1-\sqrt{2x-5}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-\sqrt{2x-5}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-5}\le1\)

\(\Leftrightarrow0\le2x-5\le1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{5}{2}\le x\le3\)

a)ĐK:\(\begin{cases}25x^2-9 \ge 0\\5x+3 \ge 0\\\end{cases}\)

`<=>` \(\begin{cases}(5x-3)(5x+3) \ge 0\\5x+3 \ge 0\\\end{cases}\)

`<=>` \(\begin{cases}\left[ \begin{array}{l}x\ge \dfrac35\\x \le -\dfrac35\end{array} \right.\\\end{cases}\)

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=-\dfrac35\\x \ge \dfrac35\end{array} \right.\)

`pt<=>\sqrt{5x+3}(\sqrt{5x-3}-2)=0`

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}5x+3=0\\\sqrt{5x-3}=2\end{array} \right.\) 

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=-\dfrac35\\5x-3=4\end{array} \right.\) 

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=-\dfrac35\\x=7/5\end{array} \right.\) 

`b)sqrt{x-3}/sqrt{2x+1}=2`

ĐK:\(\begin{cases}x-3 \ge 0\\2x+1>0\\\end{cases}\)

`<=>x>=3`

`pt<=>sqrt{x-3}=2sqrt{2x+1}`

`<=>x-3=8x+4`

`<=>7x=7`

`<=>x=1(l)`

`c)sqrt{x^2-2x+1}+sqrt{x^2-4x+4}=3`

`<=>sqrt{(x-1)^2}+sqrt{(x-2)^2}=3`

`<=>|x-1|+|x-2|=3`

`**x>=2`

`pt<=>x-1+x-2=3`

`<=>2x=6`

`<=>x=3(tm)`

`**x<=1`

`pt<=>1-x+2-x=3`

`<=>3-x=3`

`<=>x=0(tm)`

`**1<=x<=2`

`pt<=>x-1+2-x=3`

`<=>=-1=3` vô lý

Vậy `S={0,3}`

a) Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(2{x^2} - 6x + 3 = {x^2} - 3x + 1\)

Sau khi thu gọn ta được: \({x^2} - 3x + 2 = 0\). Từ đó tìm được \(x = 1\) hoặc \(x = 2\)

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình ban đầu, ta thấy chỉ có \(x = 2\) thỏa mãn.

Vậy nghiệm của PT đã cho là \(x = 2\)

b) Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\({x^2} + 18x - 9 = 4{x^2} - 12x + 9\)

Sau khi thu gọn ta được: \(3{x^2} - 30x + 18 = 0\). Từ đó tìm được \(x = 5 + \sqrt {19} \) hoặc \(x = 5 - \sqrt {19} \)

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình ban đầu, ta thấy chỉ có \(x = 5 + \sqrt {19} \) thỏa mãn.

Vậy nghiệm của PT đã cho là \(x = 5 + \sqrt {19} \)

a) \(\sqrt {6{x^2} + 13x + 13}  = 2x + 4\)    

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}6{x^2} + 13x + 13 = 4{x^2} + 16x + 16\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 3 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{3 - \sqrt {33} }}{4}\) hoặc \(x = \frac{{3 + \sqrt {33} }}{4}\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy cả 2 giá trị \(x = \frac{{3 - \sqrt {33} }}{4}\) và \(x = \frac{{3 + \sqrt {33} }}{4}\) đều thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{{3 - \sqrt {33} }}{4};\frac{{3 + \sqrt {33} }}{4}} \right\}\)

b) \(\sqrt {2{x^2} + 5x + 3}  =  - 3 - x\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}2{x^2} + 5x + 3 = 9 + 6x + {x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x =  - 2\) hoặc \(x = 3\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

Vậy phương trình vô nghiệm

c) \(\sqrt {3{x^2} - 17x + 23}  = x - 3\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}3{x^2} - 17x + 23 = {x^2} - 6x + 9\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 11x + 14 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = \frac{7}{2}\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy \(x = \frac{7}{2}\) thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{7}{2}\)                  

d) \(\sqrt { - {x^2} + 2x + 4}  = x - 2\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(\begin{array}{l} - {x^2} + 2x + 4 = {x^2} - 4x + 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 3\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy x=3 thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là x=3

2:

a: =>2x^2-4x-2=x^2-x-2

=>x^2-3x=0

=>x=0(loại) hoặc x=3

b: =>(x+1)(x+4)<0

=>-4<x<-1

d: =>x^2-2x-7=-x^2+6x-4

=>2x^2-8x-3=0

=>\(x=\dfrac{4\pm\sqrt{22}}{2}\)